Kombinasyon ve Permütasyon Hesaplama
n elemanlı bir kümeden r elemanlı kombinasyon veya permütasyon sayısını hesaplayın.
Değerler
Fark nedir?
- Kombinasyon (nCr): sıralamanın önemli olmadığı seçimlerde kullanılır. Formül: n! / (r! × (n-r)!)
- Permütasyon (nPr): sıralamanın önemli olduğu dizilişlerde kullanılır. Formül: n! / (n-r)!
Kombinasyon ve Permütasyon Hesaplama nedir?
Kombinasyon ve permütasyon hesaplama aracı, olasılık ve istatistik derslerinde sık karşılaşılan "n elemanlı bir kümeden r eleman kaç farklı şekilde seçilebilir/dizilebilir" sorularını hızlıca çözer.
Nasıl hesaplanır?
Kombinasyon (nCr), sıralamanın önemli olmadığı seçimlerde n! ÷ (r! × (n−r)!) formülüyle hesaplanır. Permütasyon (nPr) ise sıralamanın önemli olduğu durumlarda n! ÷ (n−r)! formülünü kullanır. Doğru sonucu almanın tek koşulu doğru modu seçmektir ve ayrım tek bir soruda toplanır: seçilenlerin sırası bir şey değiştiriyor mu? Bir takıma seçilen beş kişi hangi sırayla seçilirse seçilsin aynı takımdır — bu kombinasyondur. Bir yarışta ilk üçe girenler ise sıraya göre farklı sonuçtur — bu permütasyondur. Aynı n ve r için permütasyon her zaman kombinasyondan büyük çıkar. Hesap tam sayı aritmetiğiyle yapılır: sonuçlar ondalıklı sayı olarak değil, basamak kaybı olmadan tam olarak hesaplanır ve on beş basamağı aşan sonuçlarda kaç basamaklı olduğu ile kısa bilimsel gösterimi de ayrıca yazılır. Bu bir doğruluk kısıtı değil okunabilirlik tercihidir; aracın kabul ettiği üst sınır da aynı sebeple konmuştur. Formüller her elemanın birbirinden ayırt edilebilir ve her seçimin tekrarsız olduğunu varsayar — tekrarlı seçimler ve özdeş elemanlar içeren diziler farklı formüller gerektirir ve bu araçta hesaplanmaz.
Kombinasyon mu permütasyon mu — adım adım karar
- Sıranın önemli olup olmadığını sorunSeçilenlerin dizilişi sonucu değiştiriyorsa permütasyon, değiştirmiyorsa kombinasyon. Bu tek soru modu belirler ve yanlış cevaplamak sonucu kat kat şaşırtır.
- n ve r değerlerini yerleştirinn toplam eleman sayısı, r ise seçilecek eleman sayısıdır. r, n'den büyük olamaz; olursa araç sonuç üretmez.
- Sonucu büyüklük sırasıyla sınayınAynı n ve r için permütasyon kombinasyondan büyüktür. Beklediğinizin tersi çıkıyorsa büyük ihtimalle modu ya da r ile n'i karıştırmışsınızdır.
- Tekrarlı seçim yapıyorsanız bu araç uymazAynı elemanın birden çok kez seçilebildiği durumlar (ör. dört haneli bir şifrede aynı rakamın tekrarı) farklı formüllere dayanır; buradaki hesap tekrarsız seçim varsayar.
Örnek hesaplamalar
12 kişilik kadrodan 5 kişilik takım kaç farklı şekilde kurulur?
Takıma seçilenlerin sırası bir şey değiştirmediği için kombinasyon kullanılır.
- Sonuç
- 792
49 sayıdan 6 tanesini seçmek — birkaç eleman eklemenin bedeli
Soru aynı biçimde ama havuz 12'den 49'a, seçim 5'ten 6'ya çıktı. Olasılık sayısı buna karşılık on yedi binden fazla katına yükseliyor. Kombinasyon sayılarının neden sezgiyle tahmin edilemeyeceğini gösteren karşılaştırma budur.
- Sonuç
- 13.983.816
Sık sorulan sorular
Kombinasyon mu permütasyon mu kullanmalıyım?
Seçilen elemanların sırası sonucu değiştirmiyorsa (ör. 5 kişiden 3 kişilik komite seçimi) kombinasyon; sıra önemliyse (ör. 1., 2., 3. sıradaki yarışmacılar) permütasyon kullanılır.
Sonuç tam sayı mı, yuvarlanmış mı?
Tam sayıdır. "Kaç farklı seçim var" sorusunun yaklaşık bir cevabı olamayacağı için hesap, tarayıcının ondalıklı sayı aritmetiği yerine sınırsız basamaklı tam sayı aritmetiğiyle (BigInt) ve formülü adım adım sadeleştirerek yapılır. Bu sayede 50 basamaklı bir sonucun son basamağı da doğrudur. Sonuç 15 basamağı geçtiğinde tam değerin yanında kısaltılmış bilimsel gösterimi de (ör. ≈ 9,14 × 10⁴⁹) gösterilir.
n neden 170 ile sınırlı?
Bu bir hassasiyet sınırı değil, okunabilirlik sınırıdır: 170 elemanın permütasyonu 307 basamaklı bir sayıdır ve ekranda anlamlı biçimde gösterilebilecek uzunluğun çok ötesindedir. Hesabın kendisi bu sınırın üstünde de doğru sonuç verirdi.
r, n'den büyük olabilir mi?
Hayır, n elemanlı bir kümeden n'den fazla eleman seçilemeyeceği için r her zaman n'ye eşit veya küçük olmalıdır.